Fórmula de PARSEVAL...

En el manejo de las series de Fourier en las señales, se destacan 3 teoremas fundamentales: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad y la fórmula de Parseval.

Este teorema tiene diversas aplicaciones y por tanto varias formas de comprobarse y definirse.

Una de las principales es que define el porducto interno <x,y> de dos funciones x(t) y y(t) a partir de sus transformadas de Fourier X(jw) y Y(jw) respectivamente de la siguiente forma: (considerando que el periodo de estas funciones es T=2PI)





de manera que: <x,y> = <X,Y>

La utilidad de esta fórmula radica en su variedad aplicaciones como pueden ser definir la ortogonalidad de dos funciones y propiedades derivadas de esto.

También es posible escribir el teorema de Parseval de otra forma y obtener el Teorema de Energía asociado a él, que permite encontrar la señal de energía asociada a cierta banda de frecuencia de una señal analizada, así:


 

en donde se considera que 2PI es el periodo T de la señan y(t) cuya trasnformada de Fourier es Y(w).

Entendiendo un poco de que se trata, empezaremos a aplicarlo en clase, a ejemplificarlo y poco a poco lo integraremos todo en un solo tema.....
 

A quitar la "L" de la "ECUACIÓN DIFERENCIAL"...

Cuando se trata de describir el comportamiento de un sistema, no siempre se obtienen funciones sencillas en las que una entrada dependa directamente de una salida en ese mismo tiempo y sin ningún cambio.

La mayoría de los sistemas de tiempo continuo pueden describirse a través de una "ecuación diferencial" con coeficientes dependientes de tiempo y no lineales, pero como pueden ser dificiles de resolver suelen aproximarse a ecuacion diferenciales que si sean lineales y que tengan coeficientes constantes... esas pueden resolverse a través de una variedad de métodos de acuerdo a las características de la ecuación.. Eso en realidad no es algo nuevo, es de un curso de ecuaciones diferenciales.

La novedad radica en un método numérico (usualmente realizado por una computadora con las iteraciones requeridas) que permite solucionar estas ecuaciones : QUITANDOLES LA "L".

Quitarles la "L" significa convertir una ecuación "diferenciaL" en una ecuación de "diferencia".
Primero sería bueno recordar que mientras una ecuación diferencial se escribe de una forma similar a:




una ecuación de diferencia luce más bien así:



y dado que este concepto si es un poco menos familiar que el anterior, puede definirse su forma general como:

Generalmente las ecuaciones de diferencia son usadas para describir el comportamiento de sistemas de tiempo discreto (de forma análoga a como lo hacen las ecuaciones diferenciales en un sistema de tiempo continuo).

Sin embargo, cuando se obtiene una ecuación diferencial puede optarse por convertirla en una ecuación diferencia usando el método de aproximación de integrales de la "regla del trapecio" que consiste en convertir las integrales que se obtienen para solucionar la ecuación diferencial en la sumatoria de las áreas de trapecios formados en pequeños intervalos de tiempo desde el eje del tiempo hasta la función que se integra; de manera que se logra reescribir una ecuación diferencial en una ecuación de diferencia manteniendo la misma condición inicial que se decsribía en la ecuación diferencial.

Lo que se logra al convertirla en ecuación de diferencia es una "ecuación recursiva", es decir que la ecuación puede resolverse para un tiempo t usando los valores hallados para tiempos t anteriores a ese: cosa que resulta muy útil si se quiere enseñarle a un computador a hacerlo a través de un método numerico repetitivo.

Sin embargo esta no es la única forma de "quitarle la L" a las ecuaciones diferenciales, también puede hacerse usando una combinación de la transformada de Laplace con la transformada-Z, lo que es muy común en la creación de filtros para señales discretas... Pero eso será tema para otra ocasión....

Alguien preguntó por la convolución en un LTI???

Aunque la explicacion de la relacion de la convolución con un sistema LTI, ya fue dada en el final de la entrada anterior... estuve mirando otras cosas y encontré un video de la Universidad Estatal de Arizona en el que se explica matemáticamente su relación [es mejor que solo leer las fórmulas ;) ] ...

Por si no les aparece, el link es:
http://www.youtube.com/watch?v=p_gLEDYLUeU&feature=related

Hablando de LTI...

Y no me refiero a las siglas de una compañia de taxis londinense, o una empresa de Tours, o un Instituto de Lenguas... Hablo de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo.
Esos que si hoy dan como resultado una señal y(t), mañana también porque el tiempo no afectará su respuesta y no tiene memoria, no aprende, además puedo expresarlos como una suma de señales impulsos a través de superposiciones. Si cambio el tiempo, la señal solo se desplazaría más no se modificaría... tiene una señal base que determinará todo su comportamiento y no se modifica en algún tiempo.

Cuando me pregunté para que servirían, me parecían muy "hipotéticos" o "ideales" y es ahí donde descubres su utilidad: te permiten modelar muchos procesos físicos para poder analizarlos con detalle ya que conoces las propiedades que cumplen y la respuesta esperada. Es como cuando quieres analizar un circuito: te basas en una zona estable del circuito que modelas con una ecuación de comportamiento, pero en la vida real nada es tan ideal, todo agrega resistencia, nada conduce igual a lo teórico y hay una fase transitoria de acoplamiento en cada cambio... Pero algo tiene que modelarlo para darnos una idea, así hacen los LTI, nos ayudan a modelar para darnos ideas generales y estudios "casi" exactos a lo que esperamos.

Por ejemplo, en la práctica, podemos encontrar un sistema LTI en un circuito RC si sus valores de resistencia y de condensador son constantes en donde tendrá la misma reacción hoy que mañana con los mismos elementos si asumimos que estos no cambiarían ni se desgastarán en el tiempo.

O supongamos el movimiento de un cuerpo de cierta masa bajo ciertas condiciones que cumple con las ecuaciones del movimiento parabólico... Si cumplimos exactamente las mismas condiciones, el tiempo no afectará el comportamiento del mismo sistema.

De manera teórica, algunas funciones LTI pueden definirse como:

Las cuales son funciones bastante comunes para el modelado de fenómenos de la ciencia y la física.

Por otra parte, cuando inicias el estudio de este tipo de sistemas aparece una nueva palabra que aunque rima con "confusion" y "evolucion" no debería ni crear caos ni convertir unas cosas en otras.. o tal vez si pero dejandolas igual... "La Convolución": la cual es una "suma de convolución" para las señales discretas y una "integral de convolución" en el caso de señales continuas. Esta es una cualidad de los sistemas LTI que nos proporciona una herramientas más cómoda para analizarlos porque permite generalizar una señal en base a la combinación lineal de impulsos retardados, lo que en teoría simplificaría aun más una señal compleja...

"En teoría"... Vamos a ver como nos va cuando "empiece la función"!!!