A quitar la "L" de la "ECUACIÓN DIFERENCIAL"...

Cuando se trata de describir el comportamiento de un sistema, no siempre se obtienen funciones sencillas en las que una entrada dependa directamente de una salida en ese mismo tiempo y sin ningún cambio.

La mayoría de los sistemas de tiempo continuo pueden describirse a través de una "ecuación diferencial" con coeficientes dependientes de tiempo y no lineales, pero como pueden ser dificiles de resolver suelen aproximarse a ecuacion diferenciales que si sean lineales y que tengan coeficientes constantes... esas pueden resolverse a través de una variedad de métodos de acuerdo a las características de la ecuación.. Eso en realidad no es algo nuevo, es de un curso de ecuaciones diferenciales.

La novedad radica en un método numérico (usualmente realizado por una computadora con las iteraciones requeridas) que permite solucionar estas ecuaciones : QUITANDOLES LA "L".

Quitarles la "L" significa convertir una ecuación "diferenciaL" en una ecuación de "diferencia".
Primero sería bueno recordar que mientras una ecuación diferencial se escribe de una forma similar a:




una ecuación de diferencia luce más bien así:



y dado que este concepto si es un poco menos familiar que el anterior, puede definirse su forma general como:

Generalmente las ecuaciones de diferencia son usadas para describir el comportamiento de sistemas de tiempo discreto (de forma análoga a como lo hacen las ecuaciones diferenciales en un sistema de tiempo continuo).

Sin embargo, cuando se obtiene una ecuación diferencial puede optarse por convertirla en una ecuación diferencia usando el método de aproximación de integrales de la "regla del trapecio" que consiste en convertir las integrales que se obtienen para solucionar la ecuación diferencial en la sumatoria de las áreas de trapecios formados en pequeños intervalos de tiempo desde el eje del tiempo hasta la función que se integra; de manera que se logra reescribir una ecuación diferencial en una ecuación de diferencia manteniendo la misma condición inicial que se decsribía en la ecuación diferencial.

Lo que se logra al convertirla en ecuación de diferencia es una "ecuación recursiva", es decir que la ecuación puede resolverse para un tiempo t usando los valores hallados para tiempos t anteriores a ese: cosa que resulta muy útil si se quiere enseñarle a un computador a hacerlo a través de un método numerico repetitivo.

Sin embargo esta no es la única forma de "quitarle la L" a las ecuaciones diferenciales, también puede hacerse usando una combinación de la transformada de Laplace con la transformada-Z, lo que es muy común en la creación de filtros para señales discretas... Pero eso será tema para otra ocasión....