Señales discretas vs Señales continuas???

Aunque se definen como dos tipos diferentes de señales (y teóricamente lo son), se manejan de forma similar y en mi opinión están muy entrelazadas.

Ver una señal discreta es como ver el muestreo de lo que sería una continua pero por pedacitos, es como si en vez de evaluar la función en todos los puntos, lo hicieras sólo en algunos y eso te permite tener una figura cercana de como sería si evaluara todos los puntos.

Podría tener la misma función como discreta que como continua, y la continua sería como si tuviera esa en discreta pero evaluada en TODOS los puntos, y cuando digo TODOS me refiero a que por más pequeño que redujese el intervalo en donde quiero obtener información la tendría porque para cualquier valor existe una función conocida... Lo cual no se tiene en las señales discretas pues la información sólo esta en esos puntos dados, el resto...mmm Imaginarlo? Suponerlo? Aproximarlo?.... Nada exacto.

Esta diferencia entre la una y la otra (que a su vez es su relación) es la debilidad y la fortaleza de la una y de la otra. Es decir, el hecho de que las señales discretas estén definidas sólo en puntos específicos hace que las operaciones con ellas (como convolución, por ejemplo) sea mucho más simple que para las señales continuas. Sin embargo, también es su debilidad porque hace que carezca de información que la continua siempre tendrá.

En mi opinión, estos dos tipos de señales no son en sí diferentes sino dos modos de presentar una información: uno más completo que el otro, uno más simple que el otro... De una de ellas podría obtenerse la otra, aunque lógicamente es  más confiable que de una continua obtenga una discreta (lo cual es el fundamento básico del "Muestreo de Señales") a que de una discreta obtenga una continua puesto que esto último requeriría de completar los espacios vacíos sin saber lo que en realidad debería estar en ellos.

No es una contra la otra, es una de la otra...

Analizando una transformada típica...

Cuando se estudian las transformadas de Fourier de las señales, puede hallarse la transformada de cada función en particular de acuerdo a la fórmula, sin embargo para algunas funciones típicas ya están establecidas sus transformadas de forma general y sólo es necesario cambiar parámetros específicos.

Algunas de ellas son:

Para entender como varía una de ellas, graficaremos una muy común, la número 12 en la tabla que corresponde a la transformada de un pulso que corresponde a una señal senosoidal modificada.

Para facilitar su gráfica, se usará el comando "sinc" de matlab que se define como:

Y se usa como la transformada de Fourier para las funciones de ese tipo.


Para esto, se usa la función básica:

FUNCIÓN: x(w) =A*T*sinc((w*T)/2)
dándole valores específicos a los parámetros A y T... Veremos como cambia.
Con el siguiente script de Matlab podemos obtener una comparación para 4 situaciones diferentes:

• A=1 y T=1
• A=1 y T=5
• A=1 y T=10
• A=1 y T=50

Así:

clear all
clc
format long
close all

%FUNCIÓN: x(w) =A*T*sinc((w*T)/2);
A=1;
w=-10:0.005:10;

T=1;
xw=A*T*sinc((w*T)/2);
subplot(2,2,1);
plot(w,xw)
axis([-10 10 -0.4 1.2]);
grid on
title('Trans. de Fourier de [u(t+1)-u(t-1)]  // A=1, T=1')
xlabel('w')
ylabel('x(w)')
hold on

T=5;
xw=A*T*sinc((w*T)/2);
subplot(2,2,2);
plot(w,xw,'-r')
axis([-6 6 -2 6]);
grid on
title('Trans. de Fourier de [u(t+5)-u(t-5)]  // A=1, T=5')
xlabel('w')
ylabel('x(w)')
hold on

T=10;
xw=A*T*sinc((w*T)/2);
subplot(2,2,3);
plot(w,xw,'-m')
axis([-4 4 -4 10.5]);
grid on
title('Trans. de Fourier de [u(t+10)-u(t-10)]  // A=1, T=10')
xlabel('w')
ylabel('x(w)')
hold on

T=50;
xw=A*T*sinc((w*T)/2);
subplot(2,2,4);
plot(w,xw,'-k')
axis([-1.5 1.5 -12 40]);
grid on
title('Trans. de Fourier de [u(t+50)-u(t-50)]  // A=1, T=50')
xlabel('w')
ylabel('x(w)')
hold on

Obteniendo las siguientes transformadas:

  

Variar en otros parámetros seguirá obteniendo diversos cambios... Quien se anima?

Ahora si.. Una verdadera SUMATORIA DE FOURIER

Ya es hora de aplicar los conceptos aprendidos acerca de Fourier para aproximar una función a través de una sumatoria de Fourier.

En este caso, expresaré la siguiente función x(t) como una sumatoria de Fourier de manera que crearé un programa en Matlab que grafique la aproximación de esta función, dependiendo del número N que se desee para limitar la sumatoria:

 

Esta función se puede definir como x(t) = t , desde -1 a 1, con un periodo To=2.

El siguiente script calcula primero la integral que define la función X(k) para los coeficientes y luego la evalúa en el intervalo deseado de k, las suma y la grafica:

OBSERVACIÓN:

• Los comentarios en AZUL = Valores que pueden modificarse a petición del usuario
• Los comentarios en VERDE = Aclaraciones de lo que  produce el programa
• Los comentarios en ROJO = Notas importantes en el proceso de cálculo

      

clc
clear all
syms t
syms k
funx=t; %funx=Funcion armónica a analizar
To=2; %To=Periodo de la función armónica
w=(2*pi)/To;
xki=funx*exp(-j*w*k*t);
xk=(1/To)*int(xki,-1,1); %-1 a 1 es el intervalo a analizar (Un Periodo)
disp(xk); %xk muestra la función X(k) de los coeficientes de Fourier

N=25; %N= Numero de sumatorias para la serie de Fourier
      %N PUEDE VARIARSE PARA CAMBIAR LA EXACTITUD DE LA SUMATORIA
xt=0;
for kn=-N:1:N
  
    if kn==0
        xik=0 %No puede evaluarse en k=0 porque se obtiene una INDETERMINADA
              %El valor de X(k) = 0 cuando k=0 se obtuvo por L'Hopital
    else
      xi=xk*exp(j*w*k*t);
      xik=subs(xi,k,kn);
    end
   
   disp(kn) %kn muestra en que numero de evaluacion de k va el proceso
   disp(xik) %xik muestra cual es la funcion x(k) para ese valor de k
   xt=xt+xik; %Sumatoria de Fourier (aproximacion de x(t))
   end
disp(xt)

for ti=-1.5:0.01:1.5 %Intervalo de tiempo en que sera graficada la función
                     %Mientras mas pequeño sea el paso, mejor nitidez
                     %tendra la gráfica pero más lento será el proceso.
      xti=subs(xt,t,ti);
      plot(ti,xti,'--b.')
      grid on
      title('Representación de Función x(t) como Sumatoria de Fourier')
      xlabel('Tiempo t')
      ylabel('Aproximación de x(t)')
      hold on
end
 

Como se aclaró en el proceso, la evaluación de la función X(k) cuando k=0 no puede realizarse de manera directa pues se obtiene una indeterminada. Esta evaluación debe hacerse a través de L'Hopital con dos derivadas para obtener un valor igual a X(0) = 0. 


Así:

Pueden variarse por tanto los parámetros de N y de t para obtener, en el primer caso, una mejor aproximación de la sumatoria y en el segundo variar los parámetros de la gráfica, teniendo en cuenta que mientras más grandes sean estos números MAS TIEMPO DEMORARÁ EL COMPUTADOR PROCESANDO.... Paciencia...!!!

Con los parámetros establecidos en este script, se obtiene la siguiente gráfica:

Finalmente, la aproximación... Toma forma!

Fórmula de PARSEVAL...

En el manejo de las series de Fourier en las señales, se destacan 3 teoremas fundamentales: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad y la fórmula de Parseval.

Este teorema tiene diversas aplicaciones y por tanto varias formas de comprobarse y definirse.

Una de las principales es que define el porducto interno <x,y> de dos funciones x(t) y y(t) a partir de sus transformadas de Fourier X(jw) y Y(jw) respectivamente de la siguiente forma: (considerando que el periodo de estas funciones es T=2PI)





de manera que: <x,y> = <X,Y>

La utilidad de esta fórmula radica en su variedad aplicaciones como pueden ser definir la ortogonalidad de dos funciones y propiedades derivadas de esto.

También es posible escribir el teorema de Parseval de otra forma y obtener el Teorema de Energía asociado a él, que permite encontrar la señal de energía asociada a cierta banda de frecuencia de una señal analizada, así:


 

en donde se considera que 2PI es el periodo T de la señan y(t) cuya trasnformada de Fourier es Y(w).

Entendiendo un poco de que se trata, empezaremos a aplicarlo en clase, a ejemplificarlo y poco a poco lo integraremos todo en un solo tema.....
 

A quitar la "L" de la "ECUACIÓN DIFERENCIAL"...

Cuando se trata de describir el comportamiento de un sistema, no siempre se obtienen funciones sencillas en las que una entrada dependa directamente de una salida en ese mismo tiempo y sin ningún cambio.

La mayoría de los sistemas de tiempo continuo pueden describirse a través de una "ecuación diferencial" con coeficientes dependientes de tiempo y no lineales, pero como pueden ser dificiles de resolver suelen aproximarse a ecuacion diferenciales que si sean lineales y que tengan coeficientes constantes... esas pueden resolverse a través de una variedad de métodos de acuerdo a las características de la ecuación.. Eso en realidad no es algo nuevo, es de un curso de ecuaciones diferenciales.

La novedad radica en un método numérico (usualmente realizado por una computadora con las iteraciones requeridas) que permite solucionar estas ecuaciones : QUITANDOLES LA "L".

Quitarles la "L" significa convertir una ecuación "diferenciaL" en una ecuación de "diferencia".
Primero sería bueno recordar que mientras una ecuación diferencial se escribe de una forma similar a:




una ecuación de diferencia luce más bien así:



y dado que este concepto si es un poco menos familiar que el anterior, puede definirse su forma general como:

Generalmente las ecuaciones de diferencia son usadas para describir el comportamiento de sistemas de tiempo discreto (de forma análoga a como lo hacen las ecuaciones diferenciales en un sistema de tiempo continuo).

Sin embargo, cuando se obtiene una ecuación diferencial puede optarse por convertirla en una ecuación diferencia usando el método de aproximación de integrales de la "regla del trapecio" que consiste en convertir las integrales que se obtienen para solucionar la ecuación diferencial en la sumatoria de las áreas de trapecios formados en pequeños intervalos de tiempo desde el eje del tiempo hasta la función que se integra; de manera que se logra reescribir una ecuación diferencial en una ecuación de diferencia manteniendo la misma condición inicial que se decsribía en la ecuación diferencial.

Lo que se logra al convertirla en ecuación de diferencia es una "ecuación recursiva", es decir que la ecuación puede resolverse para un tiempo t usando los valores hallados para tiempos t anteriores a ese: cosa que resulta muy útil si se quiere enseñarle a un computador a hacerlo a través de un método numerico repetitivo.

Sin embargo esta no es la única forma de "quitarle la L" a las ecuaciones diferenciales, también puede hacerse usando una combinación de la transformada de Laplace con la transformada-Z, lo que es muy común en la creación de filtros para señales discretas... Pero eso será tema para otra ocasión....

Alguien preguntó por la convolución en un LTI???

Aunque la explicacion de la relacion de la convolución con un sistema LTI, ya fue dada en el final de la entrada anterior... estuve mirando otras cosas y encontré un video de la Universidad Estatal de Arizona en el que se explica matemáticamente su relación [es mejor que solo leer las fórmulas ;) ] ...

Por si no les aparece, el link es:
http://www.youtube.com/watch?v=p_gLEDYLUeU&feature=related

Hablando de LTI...

Y no me refiero a las siglas de una compañia de taxis londinense, o una empresa de Tours, o un Instituto de Lenguas... Hablo de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo.
Esos que si hoy dan como resultado una señal y(t), mañana también porque el tiempo no afectará su respuesta y no tiene memoria, no aprende, además puedo expresarlos como una suma de señales impulsos a través de superposiciones. Si cambio el tiempo, la señal solo se desplazaría más no se modificaría... tiene una señal base que determinará todo su comportamiento y no se modifica en algún tiempo.

Cuando me pregunté para que servirían, me parecían muy "hipotéticos" o "ideales" y es ahí donde descubres su utilidad: te permiten modelar muchos procesos físicos para poder analizarlos con detalle ya que conoces las propiedades que cumplen y la respuesta esperada. Es como cuando quieres analizar un circuito: te basas en una zona estable del circuito que modelas con una ecuación de comportamiento, pero en la vida real nada es tan ideal, todo agrega resistencia, nada conduce igual a lo teórico y hay una fase transitoria de acoplamiento en cada cambio... Pero algo tiene que modelarlo para darnos una idea, así hacen los LTI, nos ayudan a modelar para darnos ideas generales y estudios "casi" exactos a lo que esperamos.

Por ejemplo, en la práctica, podemos encontrar un sistema LTI en un circuito RC si sus valores de resistencia y de condensador son constantes en donde tendrá la misma reacción hoy que mañana con los mismos elementos si asumimos que estos no cambiarían ni se desgastarán en el tiempo.

O supongamos el movimiento de un cuerpo de cierta masa bajo ciertas condiciones que cumple con las ecuaciones del movimiento parabólico... Si cumplimos exactamente las mismas condiciones, el tiempo no afectará el comportamiento del mismo sistema.

De manera teórica, algunas funciones LTI pueden definirse como:

Las cuales son funciones bastante comunes para el modelado de fenómenos de la ciencia y la física.

Por otra parte, cuando inicias el estudio de este tipo de sistemas aparece una nueva palabra que aunque rima con "confusion" y "evolucion" no debería ni crear caos ni convertir unas cosas en otras.. o tal vez si pero dejandolas igual... "La Convolución": la cual es una "suma de convolución" para las señales discretas y una "integral de convolución" en el caso de señales continuas. Esta es una cualidad de los sistemas LTI que nos proporciona una herramientas más cómoda para analizarlos porque permite generalizar una señal en base a la combinación lineal de impulsos retardados, lo que en teoría simplificaría aun más una señal compleja...

"En teoría"... Vamos a ver como nos va cuando "empiece la función"!!!

Como obtengo un Sistema Invariante en el Tiempo?....

Para entender cuando un sistema es lineal e invariante en el tiempo, es decir es LTI,  las condiciones iniciales deben ser cero. Para ver como varía un sistema, se estudiará un ejemplo de  lacorriente en un circuito.

En este caso, supongamos entonces que se tiene un circuito cerrado con una resistencia de 1 Ohmio en serie con una inductancia de 1 H, alimentados por una fuente de V(t) = B*U(t).

Al aplicar la L.V.K y resolver la ecuación diferencial correspondiente, se obtiene que la corriente en el circuito está dada por:



En donde depende entonces de dos factores: Io [Corriente inicial] y B [Entrada de la Fuente].
Entonces para descubrir como afecta el sistema cada uno de ellos y cual combinación acertada puede hacer que el sistema no varíe en el tiempo, probaremos con cuatro casos y observaremos en una gráfica el comportamiento del sistema.

1) Io=1 , B=1 --> Con condiciones iniciales de corriente y con respuesta forzada en la fuente.

Usando el siguiente código de Matlab:

format long
t=0:0.000025:6;

io=1;
b=1;

dep_io=io.*exp(-t);
dep_b=b-b.*exp(-t);
i=dep_io+dep_b;

%subplot(3,1,1)
plot(t,dep_io,'--r',t,dep_b,'-.b',t,i,'g')
h=legend('Dependiente_Io','Dependiente_B','I_Total',3);
set(h,'Interpreter','none','Location','East')
grid on
axis([0 6 0 1.1])
title('CORRIENTE I [  Io=1 / B=1  ]')
xlabel('Tiempo[s]')
ylabel('Corriente [A)')

Se obtiene la siguiente gráfica:

 2) Io=1, B=2 --> Con condiciones iniciales de corriente y respuesta forzada de fuente mayor.

En un script bastante similar al anterior, pero modificando los valores de Io, B y el tamaño de los ejes para observar bien la gráfica.

format long
t=0:0.000025:6;

io=1;
b=2;

dep_io=io.*exp(-t);
dep_b=b-b.*exp(-t);
i=dep_io+dep_b;

plot(t,dep_io,'--c',t,dep_b,'-.b',t,i,'g')
h=legend('Dependiente_Io','Dependiente_B','I_Total',3);
set(h,'Interpreter','none','Location','East')
grid on
axis([0 6 0 2.1])
title('CORRIENTE I [  Io=1 / B=2  ]')
xlabel('Tiempo[s]')
ylabel('Corriente [A)')

 Se obtiene:

3) Io=0 , B=1 ---> Sin condiciones iniciales de corriente y con respuesta forzada de fuente

Con:

format long
t=0:0.000025:6;

io=0;
b=1;

dep_io=io.*exp(-t);
dep_b=b-b.*exp(-t);
i=dep_io+dep_b;

plot(t,dep_io,'--c',t,dep_b,'-.b',t,i,'g')
h=legend('Dependiente_Io','Dependiente_B','I_Total',3);
set(h,'Interpreter','none','Location','East')
grid on
axis([0 6 0 1.1])
title('CORRIENTE I [  Io=0 / B=1  ]')
xlabel('Tiempo[s]')
ylabel('Corriente [A)')

Se obtiene:

En donde la curva de corriente total (verde) oculta a la dependiente de B (azul oscuro) puesto que es la misma y la dependiente de Io (aguamarina) se encuentra sobre el eje x por ser igual a cero.

4) Io=0 , B=2 --> Sin condiciones iniciales de corriente y respuesta forzada de fuente mayor.

Con:

format long
t=0:0.000025:6;

io=0;
b=2;

dep_io=io.*exp(-t);
dep_b=b-b.*exp(-t);
i=dep_io+dep_b;

plot(t,dep_io,'--c',t,dep_b,'-.b',t,i,'g')
h=legend('Dependiente_Io','Dependiente_B','I_Total',3);
set(h,'Interpreter','none','Location','East')
grid on
axis([0 6 0 2.1])
title('CORRIENTE I [  Io=0 / B=2  ]')
xlabel('Tiempo[s]')
ylabel('Corriente [A)')

Se obtiene:

En donde ocurre el mismo fenómeno en la gráifca descrito en el numeral anterior.

De manera que cuando las condiciones iniciales son diferentes de cero, no se considera al sistema LTI; mientras que si son cero se considera LTI puesto que su respuesta sólo depende de la entrada "input B" referente al voltaje de fuente.